求不规则图形的面积

任景业

车行至广平西，上来一位学医疗器械的“大一”的学生，与我坐邻座。

问她现在还学不学数学，她说正学呢，学微积分。

问积分有什么用，她想了想，说：“可以求不规则图形的面积”。

我将手拍在我们前面座椅的靠背上，问：“用你高中以前的知识，你怎么求我的手掌印下的面积？”

她马上说：“这没有办法求。我们求面积都是规则图形，不规则的图形也是一些规则图形的组合。这个没有办法求。”

她没有用过新课程下的数学教材，对于这样的问题，现在的小学生应当能够解决了。

新世纪教材安排了探索不规则图形及物体的测量方法，如，“估计自己鞋印的面积”的活动，“学生可以在鞋印上画出透明的正方形格子，由此进行估计。对于感兴趣的学生，教师还可以引导他们计算出鞋印覆盖住的整方格数，得到鞋印面积的不足近似值；再计算出被鞋印接触过的所有方格数，得到鞋印面积的过剩近似值，鞋印的实际面积介于二者之间。根据经验，学生还可能认识到方格分得越细，不足近似值和过剩近似值越接近，这种认识实际上蕴涵了微积分的基本思想。[1]”

上文说“根据经验，学生还可能认识到……”，似乎是编写者“一厢情愿”的猜度。我们看到下面的材料，想来你会体会到编写者这样设计的意义和价值。

例[2]  求一块不规则图形的面积．(九年级研究课)

这与数学中的常规问题是不同的，我们在数学中面对的一般都是规则图形，可以直接用公式计算，或者通过适当割补后再用公式计算．如何解决这一问题呢?我们把它交给学生，竟然得到了如下一些成果：

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”．

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近．

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为 ．

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是 ．

我们欣赏一下学生的思路，你会发现，这里的每一种方法都有极其深刻的背景：方法l涉及到一个重要思想——面积公理，是应用了面积的本质意义。方法2与前文所述新世纪教材编写者建议的方法一致，体现了朴素的微积分的基本思想；方法4类似于伽利略计算摆线（见下图）弧下方所围成的面积的方法。   

当一个圆在一条直线上平稳地滚动时，圆上一个固定点所出的曲线就是一条摆线。新世纪配套教学辅导读物《伴你成长》就有一个这样的实践活动：“想象一下，在车轮行驶的过程中，气门芯形成的图形是什么样子的。” 当车子在平直的道路上行驶时，车轮上的气门芯形成的图形就是摆线。

对摆线的研究，在17世纪曾是科学界的“热门话题”。伽利略痴迷于摆线的研究，发现了摆线的两个重要事实：

1. 摆线弧的长度等于旋转圆的直径的4倍；

2. 摆线弧下方所围成的面积是旋转圆的3倍。

而他发现这两个重要事实所用的方法，现在来看却很是简易。他是用一根绳子附在摆线上，度量出这条绳子的长度再与旋转圆的直径作比较，得到了第一个事实；在一块薄板上画出摆线所围成的图形，再把这个图形切下来，称一下它的重量，然后在同样的薄板上画出旋转圆，再把旋转圆切下来，称一下重量，他发现了第二条事实。

伽利略用到的第一种方法是新世纪教材中特别突出的化曲为直的方法。如，在三年级上册乘法中给出了一条弯弯曲曲的铁路线示意图，让学生在图中标出火车出发2时后的大概位置；在六年级上册学习圆的周长时，介绍了“用线绕圆片一周，量它的长度。”他的第二种方法，在学习比例或相似时我们可以向学生介绍。我在教学比例时，崔艳梅同学就想到了这个称面积的方法——称出某个省的面积。

上面1,2,4三种方法是从确定性来思考的，方法3与前面的三种方法不同，是从随机性的角度思考的，属于概率统计的方法，在数学上被称为“蒙特卡罗方法”。

用“蒙特卡罗方法”发明人波兰数学家乌拉姆举的例子说：用微积分的方法求不规则图形的面积，有时计算很麻烦，我们可以用一个正方形将这个不规则图形围住，然后随机地往正方形内掷“点”。如，抛豆粒或站在一定远的距离外掷飞镖。当掷的“点”的数目足够大时，落入正方形内的“点”数与落入这个不规则图形内的“点”数，应当等于这两个图形面积的比值。这种方法由于有随机的思想，与赌博的随机性有关联，数学家们就用世界最著名的赌城“蒙特卡罗”命名。

换一个视角看问题，这四种方法也是有联系的，我们把小方格缩小，视为点，视为投放“点”之后的结局；把“蒙特卡罗方法”投放的“点”放大为小正方形，且投放后的正方形都能整齐地排列，这方法1,2,3就没有什么实质性的差异了。

再看方法4,既然这图形的面积可以看成由众多的“小正方形”或“点”组成，可以象点数马、牛、羊一样点数。那么，当点数的物件太小，象豆子，米粒，沙粒……，不容易点数时，人们便想到了称，用重量来度量其多少，这自然就是方法4了。这样看来，方法4中称量的细沙、伽利略称量的薄板都可以视为称量的“点”的集合了。