对“比”的思考--任景业的博客

对“比”的思考

[ 2008-10-14 17:41:00 | By: 蝉之歌 ]

俞老师对比的确做了深入的思考。希望这种思考习惯的成果能够更多地体现在课堂中。

对比的思考我和王永老师有过多次的讨论，也曾请教过数学家。教材组也有过讨论。数学家是认可我们教材的描述性的定义方式的。——因为数学的研究对象就是抛弃了“具体的量”，是在高度抽象、形式化的“数”的层面上去研究“比”的。因此，数学家们不认可“不同类量的比”，如，路与时间的比得出速度，认为那是“物理中的事情”是用数学为工具解决的物理中的问题。

但对于我们搞小学数学教育的人来说，尤其是我们一线老师。面对一群十岁左右的孩子，我们还不能让他们脱离具体的量，到抽象的形式的“数”去理解什么是“比”，也不能在小学就区分这是数学中的，那是物理中的。因此，我们的教材、包括国内外的小学数学教材，都设计了具体的情境，通过具体的情境让学生结合可感知的“量”去理解比。——由此，我们可以看出，做为数学的概念与作为教育的数学是有所不同的。

现在的教材对“比”的定义是 “两个数相除，又叫做这两个数的比”，这是从形式上说的，没有错误，但对学生理解比，我认为帮助不大。比可以用两个数相除来表示，但不能在“比”与“两个数相除”之间划等号，不能视为同一个概念。

那么，比与除法有什么不同呢？

我的体会是比是反映的一类事物的性质、规则，或量上的某种关系。如：农药和水的比值是1：150，我们可以知道，配制这种药应当按“农药的质量是1份，水的质量就要150份”的规则来配制，体现了这种农药“药性”大小的一种性质，反映的是农药与水的之间的数量关系。

而除法是知道两个确定的数之后的一种运算。6个苹果分成2个小朋友，每个人得到几个？

具体做一下比较可以发现：

1. 从结果上看：除法我们关注的是这种运算给我们的结果是多少。比值虽然也是运算后的结果，但它的不是确定的某一个数，而是一种倍比关系。

2. 从参与运算的两个数来看。虽然在求比值的运算中也会用到两个数，但这两个数也不同于一般除法中的两个确定的数。除法中的两个数可以独立存在，替换；而比中的前项与后项是不可以更换的，要更换，需要前项和后项两个一起“变换”，否则研究的就不是同一类事物。

3. 比是一种事物具有的性质，是量与量之间的关系，这类事物的量可以不是具体的，可以是未知的，是这一类事物量与量之间的关系的一种抽象，而除法的两个量是具体而确定的。仍然以俞老师的“农药”为例，“一种喷洒果树的药水，农药和水的质量比是1:150.”可以理解为“如果农药的质量是1千克，那么水的质量就要150千克。”也可以理解为“如果农药的质量是5克，那么水的质量就要750克。”这里“1：150”是上面多种情境抽象后的数量关系的表达形式。如果改为“如果农药的质量是5克，那么水的质量就要150克。”就不是这种农药了，研究的事物就改变了。虽然 “6个苹果分成2个小朋友，每个人得到几个？”与“60个苹果分成20个小朋友，每个人得到几个？”得数一样，但情境却并不是一会事。