做为数学的“思想”与做为教学的“方法”

任景业

虽然一般人总把教数学的与研究数学的人混在一起，但我们中小学教师难得见上一次数学家，即使文字交流、学术探讨也很少与数学家打交道，于是我们中小学圈子中自己有一套话语体系，如，“数形结合思想”“模型化思想”“直观”等等，来表达我们自己的理解。

一些数学家一直不认可我们中小学教师说的“数形结合思想”“模型化思想”“直观”等术语。做为数学专业中的术语他们有自己的严格理解，做为我们中小学也有自己的理解。因此，交流时难免会产生一些误解。

什么叫数形结合？

“学习一个概念时，如，学习分数。我们用画图的方法帮助学生来理解，……”

你没说完，数学家生气了，“扯谈！这怎么叫数形结合呢？”

“数形结合……？”

“用代数的思想处理几何问题，象笛卡尔发明的坐标这样的才是数形结合的思想。你画个图的作用怎么能和笛卡尔的创造相提并论？……”

在这场假想的中小学教师与数学家的交流中，我们象是一群“市井无赖”， 从数学家摆放在圣案的供品里，旁若无人地拿一些仙桃，大方的享用。

我们不管数学家质疑，我们自然的还是在应用着这些术语。我们不否认数学家说的不是数形结合，但这样的重要的例子太少，而与我们教学中接触的大量的“教学”方法中，却充斥着各式各样的图形。在数的问题难以理解时，我们从图形的家园中，唤一个图形过来，让他和“数” 见个面，拉拉手，拍拍肩，交个朋友，临别来个飞吻，一切问题都好解决了。

分数的引入、分数的进一步理解、分数各种运算我们都是用的这种方法。熟客频顾法常用，自然需要冠一个名称，不叫“数形结合”，难道还有更合适的名字？——就是你数学家发明的词怎么样，这本来就是人类文化的一部分，是所有人类共享的，我们为什么不可以用？这有点村妇不说理的味道，但你不能说没有道理。

我做不了“包青天”，也做不了“和事公”，上面的话是想说做为“学科中的数学”，有一些术语与我们做为“教育中的数学”的一些术语是不一致的，有时我们没有分清的必要，但思考问题时，尝试着把他们分开还是有助于我们认识问题的。

下面是我和孙老师的昨天晚间的一段聊天，孙老师是教研员。我们常在一起讨论数学教学中的问题，她的好追问，让我不得不经常把我杂乱的知识堆里的旧衣物一次次地进行梳理和分装。

孙老师 21:46:42

分数的初步认识这一单元渗透的数学思想方法是什么

蝉之歌 21:47:03

用数学化的方法，创造数、发展新的计数单位。学习分数以等分，测量为基础，又是以后学习有理数的基础，

孙老师 21:49:52

我怎么觉得像是作用，不是渗透的数学思想方法啊。我觉得是数形结合、模型化、单位等

蝉之歌 21:51:30

一些数学的或科学的思想方法与如何组织教材和教学有关。数形结合、模型化、并不是数学本身的，是依赖于不同的教材编排方式和教学组织形式的。分数单元中这几个字包括两部分：做为数学的分数，做为教学的分数。我的回答是两部分分开的

我把对话做了压缩，省了版面，少了活泼，多了枯燥。

分数单元中的数学思想方法，可以做一篇大文章。且略说一二。

分数单元，指教材的一个章节，其中体现出的思想方法与教材的处理方式有关——这里，我只说是思想方法，少用了“数学”二字。其一，暂在数学家面前做一个贞女。其二，做为我们教学的策略，或说做为教学的分数，其中的确用到很多并非数学的方法。虽然我们习惯了这样的称谓。

如：

用折纸、画图的方法让学生体会分数是一个行为，这是操作的方法。——这一方法与数学中的思想方法似乎无关。

从这些操作中引出分数，又会用到概括、抽象，创造新的计数单位。这有点数学思想方法的意味了，但概括、抽象并非数学所独有。抽象创造新的计数单位，是数学的了，这是数学的方法。

从大量的个体分数的学习中，如，2／3,4／5.等等，概括、抽象得到分数的定义，这里有“模型化”的思想，是代数的思想了。这当然是数学家们说的思想了。

从生活中的粗俗的现象，到有一些数学材料的组织， 再到清晰的数学表达，这个数学化的过程，是数学发展中的重要思想，也是我们数学教育的重要方法。（2008年11月26日）