解析几何是一门连接代数与几何的桥梁课程。在解析几何的教学中可以发现，学生解题时的思维定在很大程度上影响着问题的解决。比如，在直线部分，显示拘泥于直线方程的五种形式，结果常常导致解题的过程繁琐。而事实上，在某些问题的具体求解中，恰当运用平面几何中的有关知识，常能使问题的解决简单化。下面举例来说明这方面的问题。

一、运用平面几何的定义

利用定义求方程，是解析几何中常见方法，如利用圆的定义：“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”求圆心是C（a，b），半径是r的圆的标准方程。

例1．       设A，B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。

分析：常规思路是利用直线的点斜式方程，计算较繁，下面运用线段的垂直平分线定义求，简单明了。

解：设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则∣MA∣=∣MB∣ ，即∣MA∣²=∣MB∣²，则有（x＋1）²＋（y＋1）²=（x－3）²＋（y－7）²。化简得x＋2y－7=0为所求直线方程。

例2．       直线L₁ ：3x－4y－7=0与直线L₂：12x－5y＋6=0的夹角平分线的方程。

分析：常规思路是用直线的点斜式方程，先通过解方程组求交点，再用夹角公式求斜率，运算繁琐，现用角平分线定义来解。

解；设L₁与L₂夹角平分线上任意一点为P（x，y），则有： 化简得：21x＋27y＋121=0或99x－77y－61=0为所求直线方程。

二、运用平面几何的某些性质

例3．       已知圆的方程是x²＋y²=r²，求经过圆上任意一点M₀（x₀，y₀）的切线方程。

分析：这是现行教材上的例题，按常规思路是用直线的点斜式方程，很明显涉及到斜率的分域讨论，若注意到问题的几何性质，就简便多了。

解：如图1，设P（x，y）为所求切线上任意

点，则

即x₀²＋y₀²＋（x－x₀）²＋（y－y₀）²=x²＋y²

又   x₀²＋y₀²=r²，所以得x₀x+y₀y=r²为所求切线方程。

例4．       已知⊙O：x²+y²=4，A（1，1）点为圆内一点，当过A的

直线与圆交于P、Q两点时，使 时，则 的长为多少？    

分析：该题是一道关于直线与二次曲线位置关系的题目，一般容易想到直线方程，构造三角形用勾股定理求解，但这种方法相当麻烦，且容易出错，不如换个角度。

解：如图2，过A作⊙O的直径CD，则 ，     依据相交弦定理    

例5．       如图3，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上

给定两点A、B，设在χ轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值.

分析：此题的解法很多，其中应用平面几何中圆的知识解决是一个比较好的方法.

解：∠ACB相当于以AB为所对的弦上的圆周角，又因C点在χ轴相交，为使∠ACB尽可能地大，应使ACB圆尽可能小，于是如图4，使以AB为弦的圆与χ轴相切，此切点即是所求的点C，由切割线定理易知 即C点坐标为（ ）.

例6．       已知直线L：x－2y－2=0,求直线x－y－2=0关于L对称的直线方程.

分析：本题常规思路是学生易想到用点斜式方程，先通过解方程组求出交点，再通过夹角公式求斜率，计算过程冗长。现利用对称性，可以使问题简化。

解：设A(x,y)为所求直线上任意一点，它关于L的对称点为B(x₀,y₀)在直线x－y－2=0上.

∴　　x₀－y₀－2=0              ①

又线段AB的中点M 在L上,

∴　         ②

又AB⊥L，所以           ③

由②③得

将上式代入①得x－7y＋22=0为所求直线方程.

例7．       已知a、b、c均为正数，求函数 的极小值。

分析：本题是无理函数极值的求解问题，学生易想到判别式法或利用重要不等式，但在用一元二次方程的判别式△≥0时运算量大，稍一不慎会前功尽弃，而若联想到几何知识，解题就简便多了。

解法1：联系平几，数形结合能快速、准确地求解.

构造如图5的图形，使AB=c,AF=a,BD=b，

且AF⊥AB,BD⊥AB，在线段AB上，任取点M，

设AM=x，则BM=c-x，FM= ，                       

DM= ，当F、M、D在一直线上时，

FM＋DM为最小，这只须过D作AB的平行线交FA的

延长线于E，这时FD= .此即极小值.

解法2：观察函数解析式的结构形式，联想解析几何中两点间的距离公式，建立如图6的坐标系.

为在轴上寻找这样一点P，使它到点A(0,a)，

点B(c,b)的距离之和最小，可取

点A关于X轴的对称点 （0，－a），                    

则

直线 的方程为 .                       

它与轴的交点即为极小值点P.

∴ 令y=0，由直线方程得 .

这时，极小值为

∴ .

三、运用平面几何的直线公理

平面几何的直线公理：经过两点有且仅有一条直线.即若P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)两点坐标适合方程Ax＋By＋C=0，则过P₁, P₂的直线方程为Ax＋By＋C=0.利用此结论解题将十分简便.

例8 一直线被两直线L₁:4x＋y＋6=0和L₂:3x－5y－6=0截得的线段的中点恰是坐标原点，求直线L的方程

分析：次题若用常规思路设出直线方程，再求出交点，由中点公式再求斜率，过程繁杂，容易出错。现利用直线公理解。

解：设L与L₁及L与L₂交于A、B两点，A点坐标为(x₁,y₁),

则     4x₁＋y₁＋6=0            ①

又A、B两点关于原点对称，B点坐标为(-x₁,-y₁),

则   －3x₁＋5y₁－6=0           ②

①+②得x₁＋6y₁=0，由上式知，点A 、原点O在直线x＋6y=0上。

又A、O、B三点共线，故直线AB的方程为x＋6y=0.

即直线L的方程为x＋6y=0.

例9 求经过两条曲线x²＋y²＋3x－y=0和3x²＋3y²＋2x＋y=0交点的直线方程

分析：此题常规思路是由两曲线方程解出交点后用两点式写出方程，过程相当繁琐。而采用“设而不求”，利用直线公理很容易求。

解：设P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)为两曲线交点，则P₁(x₁,y₁)适合曲线方程，有

为消去二次项, ①×3－②得

7x₁－4y₁=0             ③

同理，P₂(x₂,y₂)适合曲线方程，消去二次项得

7x₂－4y₂=0             ④

由③、④式可知，点P₁、 P₂在直线7x－4y=0上，由直线公理过两点有且仅有一条直线，所以过两曲线交点的直线方程为7x－4y=0.

例10 自圆x²＋y²=r²外的一点P(x₀,y₀)作圆的两条切线，切点分别为P₁、 P₂，求切点弦所在的直线方程。

解：设两切点坐标分别为P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)则两条切线方程分别为

x₁x＋y₁y=r² 和x₂x＋y₂y=r²

又这两条切线均过P(x₀,y₀)

故有

x₁x₀＋y₁y₀=r² 和x₂x₀＋y₂y₀=r²

由上式可知，切点P₁、 P₂在直线x₀x＋y₀y=r²上，所以切点弦所在直线方程为x₀x＋y₀y=r².

由前述例题可以看出，解析几何中的计算往往是先借助图形的几何性质，把繁琐的计算转化为简单的形式后再来计算，而这种数形结合的计算是最为简洁的。